Intermediate Maths Challenge 考的不是冷门技巧——它考的是一套固定的数、代数与几何事实，能否在 60 分钟、25 道题的节奏下瞬间浮现在脑海里。 我们回顾了自己十三年来的 IMC 风格练习材料——工具箱题组，加上 2015 到 2026 每一年的题组——挑出了那些始终在起作用的事实。下面按主题分类，用平实的语言列出。想了解 IMC 的完整全貌——日期、报名、奖项——请看我们的家长指南。
Number（数）
质数（prime number）恰好有两个因数——它本身和 1。 正因如此，1 不是质数：它只有一个因数。写出来看似显而易见，但在计时压力下，「1 是不是质数」这个问题绊倒的考生比这份清单上任何一条都多。
幂的末位数字会以一个短小、重复的循环出现。 3 的幂末位循环是 3、9、7、1，然后重复；2 的幂、7 的幂、8 的幂各自也有自己的四步循环。要求 3¹⁰⁰ 这类数的末位数字，先算出 100 落在循环中的哪个位置——如果正好整除，那对应的是循环里的最后一项，不是第一项。
判断能否被 8 整除，只需要看最后三位数字。 被 4 整除只需要看最后两位；被 3 或 9 整除，把各位数字加起来即可。这些捷径能把「检验一个巨大的数」变成对两三位数字的简单运算。
减去一个负数，效果和加法完全一样。 5 − (−3) 等于 5 + 3 = 8，不是 5 − 3。这条规则人人会背，但一串符号叠在一起、计算到一半时，仍然很容易失手。
一个数的质因数分解，能直接告诉你它有多少个因数，不需要一一列出。 把 360 写成 2³ × 3² × 5，把每个指数加一再相乘：(3+1)(2+1)(1+1) = 24 个因数。这比列清单快得多，检验一个数是不是像 24 这样某个数的倍数，用的也是同一个思路——看它的质因数分解里是否包含 2³ × 3，而不只是「有个 2、又有个 3」。
像 0.1̇ 这样的循环小数，恰好等于九分之一——不是「约等于」。 单个数字的循环小数，总是「这个数字 ÷ 9」（0.7̇ = 7/9）；把它四舍五入，或者把 0.7̇ 写成 7/10，会在需要精确分数的题目上丢分。
科学记数法（standard form）的数字部分，必须大于等于 1、小于 10。 0.6 × 10⁴ 还没写完，需要改写成 6 × 10³。而一百万是 10⁶，一个（现代意义上的）billion 是 10⁹——不是英式旧用法里那个「百万的百万」（10¹²）。
Algebra（代数）
指数运算法则能最快地帮你在相近的选项之间做出判断。 如果五个选项都是 2 的幂，或者题目要比较 4ⁿ 和 8ᵐ，制胜的一步是先把所有式子改写成同一个底数——通常是其中最小的质数——而不是急着去算出具体数值。
幂的幂，指数相乘；同底数的幂相乘，指数相加。 (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ，而 aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ。把这两条弄反，是试卷上最常见的代数失误之一。
如果题目给出两个方程、三个未知数，只要求其中一个组合的值，并不需要把每个未知数都「解出来」。 直接把两个方程相加或相减，往往就能得到题目要求的那个组合——不需要第三个方程。
Geometry and measures（几何与度量）
任意 n 边多边形的内角之和为 180(n − 2) 度，无论形状是不是正多边形，只要它是凸多边形。六边形的内角和永远是 720°，五边形永远是 540°。要记住的是这个公式，而不是一张各形状总和的表格。
任意凸多边形的外角之和永远是 360°，与边数无关——这一点和取决于 n 的内角和不同。这是两条规则里更干净利落的一条，也是最容易被忘记存在的一条。
两条短边分别是 5 和 12 的直角三角形，斜边一定是 13——不用计算，瞬间可得。 5-12-13 这组勾股数（以及它的倍数版本，比如 6-8-10）在图形题里反复出现，一眼认出它，每次都能省下一次开平方。
两个相似图形，边长按比例 k 缩放，但面积按 k² 缩放。 每条边长翻倍，面积会变成四倍，不是两倍——这个陷阱几乎每个人第一次遇到都会中招，第二次就几乎不会了。
当一个几何事实能推出下一个时，把图上能标出的每一个角都标出来——不只是题目问的那一个。 直线上的角、三角形内角、平行线之间的角：每标出一个新角，都是通向题目真正想要的那个角（往往还有好几步远）的一块垫脚石。
菱形（rhombus）的两条对角线互相垂直平分——但它们不一定等长。 「等长」是矩形（rectangle）的性质，不是菱形的，这两者经常被混为一谈。
把点 (x, y) 沿 x 轴翻折，得到 (x, −y)。 沿直线 y = x 翻折，则会交换坐标，把 (a, b) 变成 (b, a)。两条都是一句话就能说清的规则，不需要每次都重新画图推导。
Probability and statistics（概率与统计）
两个选择是相互独立做出的时候，要把选项数相乘，不是相加。 从 3 种前菜和 4 种主菜里各选一样，一共有十二种可能的组合，不是七种——这是整份试卷上最常见的计数错误。
极差（range）就是最大值减最小值，仅此而已。 它衡量的是分散程度，不是「典型」的数值，常常被和平均数搞混，或者和众数、中位数一起出现在同一题里当陷阱。
如果题目告诉你一组数的平均数，以及一共有多少个数，你可以立刻写出它们的总和：总和 = 平均数 × 个数。 大多数「平均数」题目本质上是总和题目的变装，很少真的需要求出每一个具体的数。
触及 KS3 之外
试卷上有少数事实，已经越过 KS3 课程，触到了 GCSE 的边缘——这是 IMC 定位略偏大龄的一个有意为之的特点，不是失误。值得知道的两条：a² − b² 可以因式分解为 (a + b)(a − b)，也就是两个平方数之差；以及扇形占整个圆面积的比例，恰好等于它的角度占 360° 的比例——无论是算面积还是算弧长，用的都是同一个分数。这两条都不需要 GCSE 级别的熟练度，只要见过这个规律，就能拿来用。
这些内容从哪里来，又该怎么用
以下每一条事实，都不是从某本教科书的索引里摘出来的——它们全部来自我们的数学导师 Professor Pi 亲手打造并不断打磨的真实 IMC 风格练习卡片，跨越十三年的试卷，从 IMC 工具箱题组 到每一年各自的题组。如果某一条事实让你卡住了，不妨看看围绕它我们最常见到哪些错误，再看看这些主题里哪些几乎每年都会出现——上面这些内容里，有一些明显比其他的更重要。想要真正把这些内容记牢，而不只是读一遍就算，可以看看间隔重复如何应用在 IMC 上。
FAQ
参加 IMC 之前，需要把这些事实全部背下来吗？
不需要，这里没有一条是硬性要求，孩子也不需要掌握全部内容才能享受这份试卷或考出好成绩。但每一条都能在考试计时紧迫时省下一点点犹豫的时间，合在一起，就覆盖了 IMC 试卷反复出现的那部分内容。
这份清单是 UKMT 官方内容吗？
不是。这些事实和习惯，是我们的导师团队在做了十三年的 IMC 风格练习题之后，用自己的话总结出来的。想查官方大纲和历年真题，请查阅 UK Mathematics Trust 官网。
我的孩子读 Year 9——这些内容会不会太难？
确实有一小部分故意偏难。IMC 向 Years 7 到 9 开放，但定位略偏大龄，所以上文标出的少数事实已经越过标准 KS3 内容，触到了 GCSE 的边缘。在上下文中见过一次就够了——这里的任何一条都不需要练到 GCSE 那种熟练度。
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